Рыночная модель Шарпа Фондовый индекс — составной. Модель оценки капитальных активов – CAPM (У. Шарпа) в Excel Вопросы для самопроверки

17.01.2024

В 1964 г. У. Шарпом была предложена однофакторная рыночная модель доходности актива. Он сформулировал и обосновал утверждение о том, что доходность любого капитального финансового актива, обращающегося на фондовом рынке, точно коррелирует с некоторым фактором, присущим данному рынку. В качестве такого фактора может быть выбран уровень доходности рыночного индекса.

Рыночный индекс - это взвешенная сумма курсов наиболее важных для рынка ценных бумаг, а доходность рыночного индекса представляет собой их усредненную доходность.

Одним из наиболее широко известных рыночных индексов в США является S&P 500, который представляет собой средневзвешенную величину курсов акций 500 наиболее крупных компаний, а наиболее часто цитируемым рыночным индексом является индекс Доу - Джонса {DJIA).

В России наиболее известным является индекс РТС , определяемый по акциям наиболее крупных российских компаний.

Рыночный портфель - совокупность всех акций, обращающихся на фондовом рынке. Однако в связи с тем, что точно определить структуру рыночного портфеля не удается, в качестве рыночного портфеля используют рыночный индекс.

В рыночной модели предполагается, что доход по акции связан с доходом по рыночному индексу следующим образом:

где г,-, г м - фактические доходности акции данного вида и рыночного индекса в определенные моменты времени;

cw - ордината точки пересечения прямой с вертикальной осью;

Р/м - величина наклона прямой;

?/л/ - величина случайной ошибки.

Коэффициент наклона рыночной модели часто называют коэффициентом бета (или просто бетой).

Рыночный индекс г м в определенной степени отражает состояние экономики в целом, а рыночная модель показывает, насколько доходность ценной бумаги соответствует экономической динамике страны.

На основе выборочных наблюдений определяется характеристическая линия данной ценной бумаги:

где тi = М(г г), г м - ожидаемая доходность акции данного вида и рыночного портфеля соответственно:

Коэффициенты а, и (3, рассчитываются по формулам

где GjM - ковариация между доходностью i-и ценной бумаги и доходностью рыночного индекса;

7 М - среднее значение доходности индекса;

g 2 m -- дисперсия доходности индекса.

Диверсификация

Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией о 2 , состоит из двух частей: 1) рыночный (или систематический) риск; 2) собственный, нерыночный (или несистематический) риск:

где g 2 m - дисперсия доходности рыночного индекса;

(3 2 а^ - рыночный риск ценной бумаги i; а 2 - собственный риск ценной бумаги i, мерой которого является дисперсия случайной погрешности е ш .

Общий риск портфеля. Если долю фондов инвестора, вложенную в ценную бумагу i данного портфеля р , обозначить через Xi, то доходность портфеля

Таким образом, рыночная модель портфеля является прямым обобщением рыночных моделей отдельных ценных бумаг.

Общий риск портфеля есть

г Д е Pp=(Z-*.P) 2 -

Предполагая, что случайные отклонения доходности ценных бумаг являются некоррелированными, имеем а 2 ер = x 2 G 2 Fi .

Таким образом, общий риск портфеля состоит из двух компонентов, аналогичных двум компонентам общего риска отдельных ценных бумаг. Эти компоненты также носят название рыночного риска (P^cj^) и собственного риска ().

Рыночный риск портфеля. Чем более диверсифицирован портфель (т. е. чем большее количество ценных бумаг в него входит), тем меньше каждая доля x t . Так как коэффициент бета портфеля является средним значением коэффициентов бета ценных бумаг, входящих в портфель, то значение (3 ; , при диверсификации не меняется существенным образом. Можно утверждать, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска.

Собственный риск портфеля. Если предположить, что во все ценные бумаги инвестировано одинаковое количество средств, то доля х { составит VN, а уровень собственного риска будет равен

Значение, находящееся внутри круглых скобок последнего выражения, является средним собственным риском ценных бумаг, образующих портфель. Но собственный риск портфеля в N раз меньше данного значения. Если портфель становится более диверсифицированным, то количество бумаг в нем (N) становится больше. Это означает, что величина VN уменьшается, что приводит к уменьшению собственного риска портфеля.

Можно утверждать, что диверсификация существенно уменьшает собственный риск.

Таким образом, увеличение диверсификации может привести к снижению общего риска портфеля. Это происходит вследствие сокращения собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск портфеля остается приблизительно таким же. Рис. 13.13 показывает, как диверсификация приводит к снижению собственного риска и усреднению рыночного риска.

Рис. 13.13. Риск и диверсификация Упражнение 13.3. Рыночная модель портфеля имеет вид

Какой будет ожидаемая доходность портфеля, если ожидаемая доходность на индекс рынка составляет 12 %?

Ответ: 12,3 %.

Упражнение 13.4. Портфель составлен из трех ценных бумаг, характеристики которых представлены в табл. 13.11

Таблица 13.11

Исходные данные для упражнения 13.4

Вычислите общий риск портфеля, если стандартное отклонение доходности рыночного индекса равняется 18%.

Ответ: 19,7 %.А

Пример 13.11. Рассмотрим два портфеля: один, состоящий из четырех ценных бумаг; а второй - из десяти. Все ценные бумаги имеют бета-коэффициент, равный единице, и собственный риск в 30 %. В обоих портфелях доли всех ценных бумаг одинаковы. Вычислим общий риск обоих портфелей, если стандартное отклонение доходности индекса рынка составляет 20 %.

Т Пусть N - число ценных бумаг в портфеле, тогда доля х,- составит 1 IN.

Уровень собственного риска портфеля будет равен

Бета портфеля: $ р = 1. Общий риск портфеля:

Стандартное отклонение доходности первого портфеля (N= 4):

Стандартное отклонение доходности второго портфеля (N= 10):

Пример 13.12. Рассмотрим две ценные бумаги А и В с коэффициентами бета, равными = 1,2 и (3 5 = 0,8; собственными рисками су 2 а = 37 и а 2 в =23. Дисперсия доходности рыночного индекса 2 м =64.

Т Значения дисперсии доходности для ценных бумаг А и В есть: с^ = (1,2 2 64) + 37 = 129 и о 2 = (0,8 2 64) + 23 = 64.

a) Портфель, состоящий из двух ценных бумаг. Рассмотрим комбинацию ценных бумаг А и В в портфеле, образованном вложением равного количества денег инвестора в каждую ценную бумагу, т. е. Хд=Хв = 0,5.

Бета данного портфеля:

Дисперсия доходности портфеля: (1,0 2 64) + 15 = 79.

Данное выражение показывает общий риск портфеля, состоящего из двух ценных бумаг.

b) Портфель, состоящий из трех ценных бумаг. Добавим к двум ценным бумагам А и В третью (Q ценную бумагу с р с = 1 и а ес = 30. Сформируем портфель, состоящий из трех ценных бумаг, взятых в равных пропорциях (х А =хв = х с = 0,33).

Дисперсия доходности ценной бумаги С есть

Бета портфеля:

Таким образом, увеличение диверсификации не привело к изменению уровня рыночного риска. Вместо этого оно привело к усреднению рыночного риска.

Дисперсия случайного отклонения доходности портфеля:

Отметим, что дисперсия случайного отклонения доходности портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, меньше дисперсии доходности портфеля, состоящего из двух ценных бумаг (т. е. 10

Доходность портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, имеет дисперсию

Это выражение показывает общий риск портфеля, значение которого меньше, чем значение общего риска портфеля, состоящего из двух ценных бумаг (74

Для определения риска портфеля можно также использовать формулу, предложенную Марковицем:

тогда дисперсия доходности портфеля, состоящего:

a) из двух ценных бумаг: а 2 = х 2 А а 2 А + х 2 в (5 2 в + "1х А х в $ А $ в (5 2 м = = 0,5 2 129 + 0,5 2 64 + 2 0,5 0,5 1,2 0,8 64 = 79;

b) трех ценных бумаг: а 2 = х А о 2 + х 2 в а 2 в + х 2 с

2x a x c $ a $ c g 2 m + 2х в х с $ в $ c g 2 m = 0,33 2 129 + 0,33 2 64 + 0,33 2 94 + + 2 0,33 0,33 1,2 0,8 64 + 2 0,33 0,33 1,2 1,0 64 + + 2 0,33 0,33 0,8 1,0 64 = 74. А

Бета-коэффициент. Для измерения рыночного риска актива (портфеля) используется величина бета. Она показывает зависимость между доходностью актива (портфеля) и доходностью рынка. Доходность рынка - это доходность рыночного портфеля.

Поскольку величина бета определяется по отношению к рыночному портфелю, то бета самого рыночного портфеля равна единице, так как ковариация доходности рыночного портфеля с самой собой есть ее дисперсия, отсюда

где Рд/ - бета рыночного портфеля.

Бета актива (портфеля) без риска равна нулю, потому что нулю равна ковариация доходности актива (портфеля) без риска с доходностью рыночного портфеля.

Величина (3 актива (портфеля) говорит о том, насколько его риск больше или меньше риска рыночного портфеля.

Если для акции некоторой компании:

|(3/| = 1, то доходность этой акции в среднем совпадает с доходностью рыночного портфеля, или, с другой стороны, акции данной компании имеют среднюю степень риска, сложившуюся на рынке в целом (такие акции называются среднерисковыми);
|(3,| > 1, то доходность этой акции растет в среднем быстрее, чем по рыночному портфелю, или, с другой стороны, акции данной компании более рискованные, чем в среднем на рынке (такие акции называются агрессивными). Такие акции следует иметь в своем портфеле, когда ожидается рост доходности рыночного портфеля. Они могут обеспечить инвестору более высокий уровень доходности, чем в среднем по рынку;
|(3,|

Бета может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

(3, > 0, то доходность бумаг данного вида колеблется в такт с рынком;

Активы с отрицательной бетой являются ценными инструментами для диверсификации портфеля, поскольку в этом случае можно построить портфель с «нулевой бетой», который не будет нести риска.

Рассмотрим портфель из акций двух видов. Ожидаемая доходность такого портфеля и ее дисперсия есть:

Из формулы для дисперсии следует, что уменьшение риска портфеля по сравнению с риском вложений в каждый вид ценных бумаг зависит от степени коррелированности р 12 доходности этих ценных бумаг, а также от выбора структуры портфеля. Можно показать, что при коэффициенте pi 2 = -1 существует структура портфеля с нулевым риском.

Действительно, из условий

следует, что портфель, содержащий рисковые бумаги с отрицательной корреляцией p l2 = -1 в пропорциях

имеет нулевой риск. Доходность такого безрискового портфеля равна

Пример 13.13. Имеется портфель, состоящий из двух ценных бумаг, характеристики которых приведены в табл. 13.12.

Таблица 13.12

Исходные данные для примера 13.13

Для различных уровней корреляции этих ценных бумаг определим максимальное и минимальное значения стандартного отклонения доходности портфеля.

Т Из выражения дисперсии доходности портфеля

следует: при p J2 = 1 имеем max а р = x t ai + х 2 а 2 - 0,35 20 + 0,65 х х 25 = 23,25 %; при р 12 = -1 имеем min = x 0 -x 2 a 2 | = 0,65 25 - -0,35 20 = 9,25 %. А

Пример 13.14. Рассматриваются две акции: акция 1, акция 2. Пусть известны индекс РТС и курсы акций на конец месяца (табл. 13.13).

Таблица 13.13

Исходные данные для примера 13.14, долл.

Период наблюдения	Индекс РТС	Курс акции 1	Курс акции 2








Сентябрь

При определении доходности будем учитывать только изменения курса акций (без учета дивидендов).

Преобразуя данные табл. 13.13, определим доходности индекса РТС и акций обоих видов в течение указанного периода (табл. 13.14).

Например, доходность в феврале.

Индекс РТС: 100 (70,03 - 55,12)/55,12 = 27,05 %;

Курс акции 1: 100 (0,099 - 0,071)/0,071 = 39,44 %;

Курс акции 2: 100 (0,044 - 0,027)/0,027 = 62,96 %.

Фактическая доходность для примера 13.14, %

Период наблюдения	Индекс РТС	Курс акции 1	Курс акции 2







Сентябрь

Преобразование данных табл. 13.13 в данные табл. 13.14 удобно производить с использованием электронных таблиц Excel. Используя пакет Анализ данных Excel (инструмент Регрессия ), получим характеристические линии соответствующих акций:

где nij, Т м - ожидаемая доходность /-й акции и рыночного портфеля соответственно.

акция 1: ai = 4,17; pi = 0,93; Rf = 0,72; o e i = 12,96;
акция 2: a 2 = 1,60; (3 2 = 1,19; R% = 0,77; о е 2 = 14,65.

На рис. 13.14 представлены графики характеристических линий обеих акций.

Полученные уравнения можно использовать для прогнозирования ожидаемой доходности акций в зависимости от прогноза ожидаемой доходности по фондовому рынку.

Анализ полученных результатов.

Расчетные значения коэффициентов альфа показывают, что при нулевой доходности фондового рынка большая доходность достигается по акциям 1:

Рис. 13.14.

Из сравнения значений коэффициентов бета для акций обоих видов следует, что с ростом доходности фондового рынка доходность по акциям 2 будет возрастать быстрее, чем по в среднем по рынку, а при падении доходности фондового рынка доходность по акциям 1 будет падать медленнее, чем в среднем по рынку:

Коэффициенты Я 2 = 0,72 и Я 2 = 0,77 показывают долю рыночного риска в общем риске по соответствующим акциям в форме дисперсии, а доля нерыночного риска: (1 - Rf ) = 1 - 0,72 = 0,28 и(1 - Д 2)= 1 - 0,77 = 0,23.
Из рис. 13.14 следует, что с ростом доходности фондового рынка ожидаемая доходность акций обоих видов возрастает. При относительно небольшой доходности фондового рынка большую ожидаемую доходность обеспечивают акции 1. В точке пересечения прямых ожидаемые доходности по акциям обоих видов совпадают. При дальнейшем увеличении ожидаемой доходности фондового рынка большую доходность обеспечивают акции 2, для которых коэффициент бета больше единицы.

Анализ полученных данных показывает, что при ожидаемом уменьшении доходности рыночного портфеля (соответствующего биржевого индекса) целесообразнее иметь в портфеле акции с коэффициентом бета меньше единицы, а при прогнозируемом увеличении доходности рыночного портфеля - акции с коэффициентом бета больше единицы. ?

Информация о значениях коэффициентов а, (3, R 2 и о Е для различных ценных бумаг, определенных подобным образом в зависимости от выбранного рыночного портфеля и установленного периода наблюдения, регулярно публикуется в специальных бюллетенях.

Пример 13.15. Акции компании имеют бета-коэффициент, равный 1,20. В течение пяти лет акции этой компании и индекс рынка демонстрировали доходность, представленную в табл. 13.15.

Таблица 13.15

Исходные данные о доходности для примера 13.15, %

		Индекс рынка

Предполагая, что коэффициент смещения рыночной модели равен 0 %, вычислим стандартное отклонение случайной погрешности рыночной модели за данный период.

ТПо условию ожидаемые доходности акций компании задаются выражением т, = 1,2гм. В табл. 13.16 приведены значения ожидаемой и фактической доходности за рассматриваемый период.

Таблица 13.16

Расчетная таблица доходности акций для примера 13.15

Стандартное отклонение случайной погрешности за данный период: ?о 2 /5 = 4,39/5 = 0,88. А

Модель Шарпа в отличие от модели Марковица требует меньше информации и вычислений. Шарп пришел к выводу, что доходность каждой отдельной акции строго коррелирует с общей доходностью рынка, поэтому нет необходимости определять ковариацию каждой акции друг с другом, достаточно определить, как они взаимодействуют с рынком.

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины - независимую (Х) и зависимую (У) линейным выражением У = α + β·Х. В модели Шарпа независимой считается ожидаемая доходность на фондовом рынке в целом (доходность рыночного портфеля) Rm, вычисленная на основе индекса компании Standart and Poor’s. В качестве зависимой переменной берется доходность Ri какой-нибудь ценной бумаги. Пусть доходность Rm принимает случайные значения Rm1; Rm2…. Rmn, а доходность i-той ценной бумаги значения Ri1; Ri2…. Rin. Тогда линейная регрессионная модель, представляющая взаимосвязь между доходностью рынка и доходностью по конкретной ценной бумаге будет иметь вид:

Ri = αi + βi Rm + εi,

где Ri – доходность i-той ценной бумаги в определенный момент времени (например, 25 июня 2003 года);

αi - это параметр, показывающий какая часть доходности i-той ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг Rm;

βi – коэффициент, показывающий чувствительность доходности i-той ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

Rm – доходность рыночного портфеля в данный момент времени;

εi - случайная ошибка, связанная с тем, что действительные значения Ri и Rm иногда отклоняются от линейной зависимости. Для упрощения расчетов ее можно принять равной 0.

βi - коэффициент «бета» - измеритель риска вложений, реакция (чувствительность) ожидаемого дохода по ценной бумаге на изменение внешних факторов;

βi = σi , βi = ρi,m · σi ,

где σi - среднеквадратичное отклонение доходности i-той ценной бумаги;

σm - среднеквадратичное отклонение доходности по рынку в целом;

ρim – коэффициент корреляции доходности i-той ценной бумаги и по рынку в целом.

Предполагая, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, Шарп вводит следующие предварительные условия:

Среднеарифметическая величина случайных ошибок Еε для всех ценных бумаг портфеля равна 0;

Дисперсия случайных ошибок σε² для каждой ценной бумаги постоянна.

Для каждой ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение T лет величинами случайных ошибок;

Отсутствует корреляция между случайными ошибками εi и рыночной доходностью;

Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

На основе этих упрощений Шарп, для любых ценных бумаг в портфеле, получает следующие выражения:

Еi = αi + βi Em ,

σi² = βi² · σm² + σεi² ,

σij = βi² βj² · σm² ,

где Еi - ожидаемая среднеарифметическая доходность ценных бумаг i;

Еm - ожидаемая среднеарифметическая доходность рыночного портфеля;

σi² - дисперсия i-той ценной бумаги;

σm² - дисперсия рыночного портфеля;

σεi² - дисперсия случайной ошибки;

σij (covij) - ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

βi и βj – чувствительность доходности i-той и j-той ценной бумаги к изменению рыночной доходности.

Таким образом, для построения границы эффективных портфелей есть все необходимые элементы: Еi; σi²; σij.

Ожидаемая доходность портфеля , состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

Еп= ∑ Хi Еi

Дисперсия портфеля в модели Шарпапредставляется в виде:

σn² = ∑ Хi² σεi² ,

σεi² = ∑ (Rit - (αi + βi Rmt)) ² / (n-2)

Вопросы для самопроверки

1. Что такое портфель ценных бумаг?

2. Дайте характеристику различным типам инвестиционных портфелей.

3. Дайте характеристику агрессивному, консервативному и умеренно-агрессивному инвестору.

4. Что понимается под активным и пассивным управлением инвестиционным портфелем?

5. Что такое диверсификация инвестиционного портфеля?

6. Как определить доходность и риск инвестиционного портфеля?

7. Что означает положительная и отрицательная ковариация между величинами доходности по ценным бумагам?

8. Что характеризует коэффициент корреляции?

9. Что такое эффективная граница Марковица?

10. Как рассчитывается доходность ценных бумаг компании и β – коэффициент в модели Шарпа?

не противоречит такому положению вещей. Рассматривая бумагу без риска, необходимо не забывать, что САРМ - это модель одного временного периода. Поэтому, если инвестор приобретает бумагу без риска по некоторой цене и держит ее до погашения, то он обеспечивает себе фиксированный процент доходности, соответствующий уплаченной цене. Последующие изменения конъюнктуры уже не влияют на доходность операции. Рыночный риск по данной бумаге возникает для инвестора только в том случае, если он решает продать

ее до момента погашения.

В заключение следует сказать о результатах проверки САРМ на практике. Они показали, что эмпирическая SML или, как ее еще называют, эмпирическая линия рынка является линейной и более пологой по сравнению с теоретической SML и проходит через рыночный портфель (см. рис. 65)

Ряд исследователей подвергают САРМ сомнению. Одна из критик представлена Р. Роллом. Она состоит в том, что теоретически рыночный портфель САРМ должен включать в себя все существующие активы пропорционально их удельному весу на рынке, в том числе зарубежные активы, недвижимость, предметы искусства, человеческий капитал. Поэтому невозможно создать такой портфель на практике и, в первую очередь, с точки зрения определения веса активов в портфеле и оценки их доходности. Сложно оценить результаты проверки САРМ, поскольку нет определенности в отношении того, является ли выбранный для экспериментов портфель рыночным (эффективным)

или нет. В целом, проверки САРМ скорее говорят о том, представляют портфели (индексы), используемые в тестах, эффективные портфели или нет, чем подтверждают или опровергают саму модель САРМ.

15. 3. МОДЕЛЬ У. ШАРПА

15. 3. 1. Уравнение модели

Ожидаемую доходность актива можно определить не только с помощью уравнения SML, но также на основе так называемых индексных моделей. Их суть состоит в том, что изменение доходности и цены актива зависит от ряда показателей, характеризующих состояние рынка, или индексов.

Простая индексная модель предложена У. Шарпом в середине 60-х годов. Ее часто называют рыночной моделью. В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка. Она предполагается линейной. Уравнение модели имеет следующий вид:

E (r i ) = y i + β i E (r m ) − ε i

где: E(ri ) - ожидаемая доходность актива;

Y i - доходность актива в отсутствии воздействия на него рыночных факторов;

βi - коэффициент бета актива;

Е(rm ) - ожидаемая доходность рыночного портфеля;

εi - независимая случайная переменная (ошибка): она показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил. Значение ее средней равно нулю. Она имеет постоянную дисперсию; ковариацию с доходностью рынка равную нулю; ковариацию с нерыночным компонентом доходности других активов равную нулю.

Уравнение (192) является уравнением регрессии. Если его применить к широко диверсифицированному портфелю, то значения случайных переменных (εi ) в силу того, что они изменяются как в положительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специфическим риском можно пренебречь. Тогда модель Шарпа принимает следующий вид:

E (r p ) = y p + β p E

где: Е(r р ) - ожидаемая доходность портфеля; βp - бета портфеля;

у р - доходность портфеля в отсутствии воздействия на него ры-

ночных факторов.

Графически модель Шарпа представлена на рис. 66 и 67. Она показывает зависимость между доходностью рынка (r т ) и доходностью актива (r i ) и представляет собой прямую линию. Ее называют линией характеристики. Независимой переменной выступает доходность рынка. Наклон линии характеристики определяется коэффициентом бета, а пересечение с осью ординат - значением показателя уi .

Бета рассчитывается по формуле:

где: ri - - средняя доходность актива, rm - - средняя доходность рынка.

1 Коэффициенты уi и βi в уравнении регрессии можно рассчитать и с помощью метода определителей, который приводится в учебниках статистики.

ri = 20%, rm = 17%, Covi, m = 0, 04, σm = 0, 3. Определить уравнение рыночной модели.

β i = 0,04 0,09 = 0,44

y i = 20 − 0,44 17 = 12,52%

Уравнение рыночной модели имеет вид:

E (r i ) = 12,52 + 0,44Е (r т ) + ε i

Графически оно представлено на рис. 66. Точками показаны конкретные значения доходности i-го актива и рынка для различных моментов времени в прошлом.

На рис. 66 и рис. 67 представлен случай, когда бета положительна, и поэтому график рыночной модели направлен вправо вверх, т. е. при увеличении доходности рынка доходность актива будет повышаться, при понижении - падать. При отрицательном значении беты график направлен вправо вниз, что говорит о противоположном движении доходности рынка и актива. Более крутой наклон графика говорит о высоком значении беты и большем риске актива, менее крутой наклон - о меньшем значении беты и меньшем риске (см. рис. 68). При β = 1 доходность актива соответствует доходности рынка, за исключением случайной переменной, характеризующей специфический риск.

Если построить график модели для самого рыночного портфеля относительно рыночного портфеля, то значение у для него равно нулю, а беты +1. Графически данная модель представлена на рис. 67.

15. 3. 2. Коэффициент детерминации

Рыночную модель можно использовать для того, чтобы разделить весь риск актива на дивесифицируемый и недиверсифицируемый, Графически специфический и рыночный риски представлены на рис. 68. Согласно модели Шарпа дисперсия актива равна:

var(r ) = var(y

+ β r

= β 2 σ

где: var - дисперсия.

Так как Covm = 0, то можно записать, что

σ i

2 = β i

2 σ m

+ σ 2 E i

где: βi 2 σm 2 - рыночный риск актива,

σ2 ЕI - нерыночный риск актива.

βi = 0, 44, σ т =0, 3, σi = 0, 32. Определить рыночный и нерыночный риски.

Рыночный риск = βi 2 σm 2 = (0, 44)2 (0, 3)2 = 0, 0174 Нерыночный риск = σi 2 - βi 2 σm 2 = 0, 1024 - 0, 0174 = 0, 085

Для вычисления доли дисперсии актива, которая определяется рынком, используют коэффициент детерминации (R2 ). Он представляет собой отношение объясняемой рынком дисперсии актива к его общей дисперсии.

			2i σ
			σ 2 i
Как уже известно,			σ 2 i
Как уже известно,		σ i
		σ i

	σ m
	σ m

Подставив данное значение в формулу (196), получим результат, который говорит о том, что коэффициент детерминации - это квадрат коэффициента корреляции.

R2 = (Corr

В последнем примере R-квадрат равен 0, 1699. Это означает, что изменение доходности рассматриваемого актива можно на 16, 99% объяснить изменением доходности рынка, а на 83, 01% - другими факторами. Чем ближе значение R-квадрат к единице, тем в большей степени движение рынка определяет изменение доходности актива. Обычное значение R-квадрат в западной экономике составляет порядка 0, 3, т. е. 30% изменения его доходности определяется рынком. R-квадрат для широко диверсифицированного портфеля может составлять 0, 9 и большую величину.

15. 3. 3. САРМ и модель Шарпа

Чтобы лучше понять САРМ и модель Шарпа, проведем между ними сравнение. САРМ и модель Шарпа предполагают наличие эффективного рынка. В САРМ устанавливается зависимость между риском и доходностью актива. Независимыми переменными выступают бета (для SML) или стандартное отклонение (для CML), зависимой - доходность актива (портфеля).

В модели Шарпа доходность актива зависит от доходности рынка. Независимая переменная - это доходность рынка, зависимая - доходность актива.

SML, CML и линия характеристики в модели Шарпа пересекают ось ординат в различных точках. Для SML и СML - это ставка без риска, для линии характеристики - значение у. Между значением у в модели Шарпа и ставкой без риска можно установить определенную взаимосвязь. Запишем уравнение SML и раскроем скобки:

E (r i ) = r f + β i [ E (r m ) − r f ] = r f + β i E (r m ) − β i r f

E (r i ) = r f (1 − β i ) + β i E (r m )

Поскольку слагаемое βi Е(rm ) является общим для SML и модели Шарпа, то:

y i = r i (1 − β i )

Из уравнения (198) следует, что для актива с бетой равной единице у будет приблизительно равен нулю. Для актива с β0, а для β>1 y<0. Если представить актив, для которого одновременно y>0 и β>1, то это означает, что он в любых условиях будет приносить результаты лучше, чем результаты рынка. Однако такая ситуация привлекла бы повышенное внимание инвесторов, и вследствие изменения его цены установилась бы отмеченная выше закономерность.

Модель САРМ является равновесной моделью, т. е. она говорит о том, каким образом в условиях эффективного рынка устанавливаются цены финансовых активов. Модель Шарпа является индексной моделью, т. е. она показывает, каким образом доходность актива связана со значением рыночного индекса. Теоретически САРМ предполагает рыночный портфель, и поэтому величина β в САРМ предполагает ковариацию доходности актива со всем рынком. В индексной модели учитывается только какой-либо рыночный индекс, и бета говорит о ковариации доходности актива с доходностью рыночного индекса. Поэтому теоретически β в САРМ не равна β в модели Шарпа. Однако на практике невозможно сформировать действительно рыночный портфель и таким портфелем в САРМ также выступает некоторый рыночный индекс с широкой базой. Если в САРМ и модели Шарпа используется один и тот же рыночный индекс, то β для них будет величиной одинаковой.

15. 3. 4. Определение набора эффективных портфелей

Рассматривая вопрос об эффективной границе, мы привели метод Марковца определения набора эффективных портфелей. Неудобство его состоит в том, что для вычисления риска широко диверсифицированного портфеля необходимо сделать большое число расчетов. Модель Шарпа позволяет сократить число единиц требуемой информации. Так, вместоединиц информации по методу Марковца,

при использовании модели Шарпа необходимо только 3n + 2 единицы информации. Такое упрощение достигается благодаря следующим

преобразованиям. Ковариация i-го и j-го активов на основе уравнения Шарпа равна:

Cov i, j = β i β jσ m 2 + σ i, j (199)

Если i =j, то σi, j = σi 2

Если i≠j, то σi, j = 0

Для определения риска портфеля подставим формулу (199) в формулу, предложенную Марковцем:


σ 2 p = ∑∑ θi θ j Cov i , j = ∑∑ θi θ j (βi β j σ 2 m + σ i , j ) =
i =1 j =1		i =1 j =1

= ∑∑ θi θ j βi β j σ 2 m + ∑ θ 2 i σ 2 i ) =

15. 4. МНОГОФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ

Существуют финансовые инструменты, которые по-разному реагируют на изменение различных макроэкономических показателей. Например, доходность акций компаний, выпускающих автомобили, более чувствительна к общему состоянию экономики, а акций ссудосберегательных учреждений - к уровню процентных ставок. Поэтому в ряде случаев более точным может оказаться прогноз доходности актива на основе многофакторной модели, включающей несколько переменных, от которых зависит доходность данного актива. Выше мы представили модель У. Шарпа, которая является однофакторной. Ее можно превратить в многофакторную, если слагаемое βi E(rm ) представить в качестве нескольких составляющих, каждое из которых является одной из макроэкономических переменных, определяющих доходность актива. Например, если инвестор полагает, что доходность акции зависит от двух составляющих - общего объема выпуска продукции и процентных ставок, то модель ее ожидаемой доходности такой примет вид:

E (r ) = y + β 1 I 1 + β 2 I 2 +ε

β1 , β2 - коэффициенты, которые говорят о влиянии соответственно индексов I1 и I2 на доходность акции;

ε - случайная ошибка; она показывает, что доходность бумаги может изменяться в некоторых пределах в связи со случайными обстоятельствами, т. е. независимо от принятых индексов.

Аналитики могут включать в модель любое число факторов, которые они считают необходимым.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

Модель САРМ устанавливает зависимость между риском актива (портфеля) и его ожидаемой доходностью. Линия рынка капитала (CML) показывает зависимость между риском широко диверсифицированного портфеля, измеряемым дисперсией, и его ожидаемой доходностью. Линия рынка актива (SML) говорит о зависимости между риском актива (портфеля), измеряемым величиной бета, и его ожидаемой доходностью.

Весь риск актива (портфеля) можно разделить на рыночный и нерыночный. Рыночный риск измеряется величиной бета. Она показывает зависимость между доходностью актива (портфеля) и доходностью рынка.

Альфа - это показатель, который говорит о величине неверной оценки доходности актива рынком по сравнению с равновесным уровнем его доходности. Положительное значение альфы свидетельствует о его недооценке, отрицательное - переоценке.

В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка.

Коэффициент детерминации позволяет определить долю риска, определяемого рыночными факторами.

Многофакторные модели устанавливают зависимость между ожидаемой доходностью актива и несколькими переменными, которые оказывают на нее влияние.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1. В чем разница между рыночным и нерыночным риском. Почему при оценке стоимости ценной бумаги следует учитывать только рыночный риск?

2. О чем говорит бета актива?

3. Если бета актива равна нулю, означает ли это, что он является безрисковым?

4. О чем говорит коэффициент детерминации ценной бумаги?

5. Ставка без риска 10%, ожидаемая доходность рынка - 20%, бета портфеля акций - 0, 8. Определите ожидаемую доходность портфеля.

(Ответ: 18%)

6. Портфель состоит из пяти активов. Удельный вес и бета первого актива равны соответственно 20% и 0, 5, второго - 20% и 0, 8, третьего - 40% и 1, четвертого - 10% и 1, 2, пятого - 10% и 1, 4. Определите бету портфеля.

(Ответ: 0, 92)

7. Портфель состоит из двух акций - А и В. Удельный вес акции

А в портфеле равен 30%, бета - 0, 8, нерыночный риск - 15%. Удельный вес акции В равен 70%, бета 1, 3, нерыночный риск - 8%. Рыночный риск равен 10%. Чему равен весь риск портфеля, представленный стандартным отклонением?

(Ответ: 13, 5%)

8. В чем разница между САРМ и рыночной моделью?

9. В чем разница между CML и SML?

10. Определите альфу актива, если его равновесная ожидаемая доходность равна 20%, а действительная ожидаемая доходность - 18%.

(Ответ: -2)

11. Начертите некоторую SML. Относительно нее покажите с помощью новых SML случаи, когда ожидания инвесторов в отношении будущей доходности рынка стали более: а) пессимистичными; в) оптимистичными.

12. Портфель состоит из двух активов. Удельный вес первого актива 25%, второго - 75%, альфа портфеля - 5, первого актива - 3. Определите альфу второго актива.

(Ответ: 5, 67)

13. В чем состоит критика модели САРМ Р. Роллом?

14. Средняя доходность актива за предыдущие периоды равна 30%, средняя доходность рынка - 25%. Ковариация доходности актива с доходностью рынка составляет 0, 1. Стандартное отклонение доходности рыночного портфеля равно 30%. Определите уравнение рыночной модели.

(Ответ: E(ri ) = 2, 5 + l, l E(rm ) + εi )

15. Бета актива 1, 2, стандартное отклонение его доходности - 20%, рынка - 15%. Определите рыночный риск портфеля.

Добрый день, уважаемое сообщество трейдеров, инвесторов и всех кто интересуется рынком ценных бумаг!

Модель У. Шарпа или как её ещё называют часто рыночная модель была впервые предложена американским экономистом, лауреатом Нобелевской премии Уильямом Форсайтом Шарпом в середине 60-х годов прошлого столетия.

Уильям Ф. Шарп является в настоящее время почетным профессором Высшей школы бизнеса Стэнфордского университета.

В 1990 г. он получил Нобелевскую премию по экономике, которую он получил за развитие теории оценки финансовых активов.

В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка. Предполагается, что доходность обыкновенной акции за определенный период связанна с доходностью за аналогичный период с доходностью рыночного индекса. В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции и наоборот.

Таким образом данная модель предполагается линейной. А уравнение предложенной модели имеет следующий вид:

Главное отличие модели У. Шарпа от модели Г. Марковица состоит в следующем:

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом, в то время как модель Марковица - рассматривает взаимосвязь доходностей ценных бумаг между собой.

Именно для того, чтобы избежать высокую трудоемкость модели Марковица Уильям Шарп предложил рыночную (индексную) модель. При этом модель Шарпа это не новый метод составления портфеля ценных бумаг - это упрощенная модель Марковица, где решение проблемы выбора оптимального портфеля осуществляется с меньшими усилиями. Модель Шарпа обычно применяют при рассмотрении большого количества ценных бумаг, которые представляют значительную часть рынка.

Весьма интересным представляется сравнение результатов полученных по модели Марковица и модели Шарпа.

Для этого мной было разработано приложение, в Microsoft Office Excel*, под названием - "".

В недавнем своем посте я демонстрировал результат расчета определения оптимального расчета на российском рынке акций по модели Марковица со следующими вводными:

были взяты акции входящие в расчет основного индекса Московской Биржи - Индекса ММВБ - 50 наиболее ликвидных и капитализированных ценных бумаг на российском рынке акций;
исторический период для анализа по рассматриваемым инструментам был выбран с 09 января 2007 года по 24 октября 2013 года;
уровень ожидаемой доходности - максимальный;
уровень приемлемого риска - минимальный;
диверсификация (максимальная доля вложений в финансовый инструмент) - 15% от имеющихся активов;
минимальный уровень дневной ликвидности по акциям - 6 млн. рублей.

Аналогичные параметры были использованы при расчете оптимального портфеля по модели Шарпа.

Полученный результат по указанным моделям Вы можете видеть ниже:

Модель Марковица:

Модель Шарпа:

Как видно разница в составе предложенных оптимальных портфелей ценных бумаг небольшая. В модели Шарпа доля бумаг Северстали составила - 11% против 2,8% в модели Марковица; акции Башнефти в модели Шарпа менее 1%, в модели Марковица - 5,8%; в модели Шарпа акции НЛМК -13,3%, в модели Марковица - 15%; в модели Шарпа акций Татнефти нет совсем, в модели Марковица - 1,5%. Остальные доли бумаг одинаковы для описываемых моделей.

Итоговые параметры следующие:

Модель Марковица:

Модель Шарпа:

Здесь мы наблюдаем, что при одинаковом уровне риска доходность портфеля Шарпа оказывается несколько выше доходности по модели Марковица - 26,75% против 24,32% годовых, соответственно. При этом мы видим, что бета портфеля по модели Шарпа также выше беты получаемой по модели Марковица (0,64 против 0,59), а это, в свою очередь говорит о том, что портфель Шарпа является чуть менее оборонительным (защитным), чем портфель Марковица.

Рыночная модель У. Шарпа оптимального портфеля в итоге выглядит следующим образом:

Все остальные расчетные показатели в представленном приложении "Портфельные инвестиции на российском рынке акций по модели У. Шарпа (рыночная модель) " являются такими же как и в модели Марковица.

Приложение "Портфельные инвестиции на российском рынке акций по модели У. Шарпа (рыночная модель) " содержит также те же технические характеристики, что и приложение «Портфельные инвестиции на российском рынке акций по модели Марковица»

В журнале сделок настроен удобный, быстрый переход от одной страницы к другой за счет внутренних гиперссылок. Гиперссылки к графикам позволят быстро перейти к нужной сводной таблице на базе которых они построены. В наличии подробная инструкция для работы с приложением.
Всего в приложении более 65 различных графиков , более 75 сводных таблиц и все четко структурированы.

Приложение настроено так, что Вы легко сможете распечатать все листы (нет необходимости специально форматировать их), чтобы делать для себя специальные папки куда вы можете подшивать Ваши расчеты и т.д. и т.п. Все страницы пронумерованы.

Также Вы сможете, при желании, преобразовать его в удобный, читаемый PDF формат (при наличии специальной программы для создания PDF файлов).

Для наглядности я выложил итоговый файл с данными, преобразованный в PDF формат, на общем диске. Вы можете пройти по ссылке и посмотреть либо скачать:

Все формулы в приложении открыты так, что Вы можете заглянуть в глубь самих расчетов в части использованных в приложении различных показателей.

При желании исходную базу данных приложения о ценовых параметрах, уже включенных в него финансовых инструментов, можно изменить, расширить (как по перечню рассматриваемых бумаг, так и по горизонту их исследования) и конечно же периодически обновлять приложение на текущую дату.

В условиях развитых и стабильно функционирующих фондовых рынков вышеупомянутые классические модели Марковица и Шарпа работают вполне эффективно. При этом в современных условиях применение лишь отдельно взятой модели не является правильным. Модели У. Шарпа и Г. Марковица могут являться хорошим дополнением к другим факторам при составлении оптимального портфеля ценных бумаг.

"Портфельные инвестиции на российском рынке акций по модели У. Шарпа (рыночная модель) " - это отличный инструмент для профессионального подхода к инвестированию на рынке ценных бумаг.

Если Вас заинтересовало приложение, то его можно приобрести либо на сайте.

Уравнение модели

где: E(ri) - ожидаемая доходность актива;

Yi - доходность актива в отсутствии воздействия на него рыночных факторов;

βi - коэффициент бета актива;

Е(rm) - ожидаемая доходность рыночного портфеля;

Уравнение (192) является уравнением регрессии. Если его применить к широко диверсифицированному портфелю, то значения случайных переменных (εi) в силу того, что они изменяются как в положительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специфическим риском можно пренебречь. Тогда модель Шарпа принимает следующий вид:

портфеля;

βp - бета портфеля;

ур - доходность портфеля в отсутствии воздействия на него рыночных факторов.

Графически модель Шарпа представлена на рис. 66 и 67. Она показывает зависимость между доходностью рынка (rт) и доходностью актива (ri) и представляет собой прямую линию. Ее называют линией характеристики. Независимой переменной выступает доходность рынка. Наклон линии характеристики определяется коэффициентом бета, а пересечение с осью ординат - значением показателя уi.

YI можно определить из формулы (193), взяв средние значения доходности рынка и актива за предыдущие периоды времени. 1

Средняя доходность рынка.

Определить уравнение рыночной модели.

модели имеет вид:

представлено на рис. 66. Точками показаны конкретные значения доходности i-го актива и рынка для различных моментов времени в прошлом.

15. 3. 2. Коэффициент детерминации

Для вычисления доли дисперсии актива, которая определяется рынком, используют коэффициент детерминации (R2). Он представляет собой отношение объясняемой рынком дисперсии актива к его общей дисперсии.

R2 = (Corri,m)2 (197)