Формула угловой скорости движения тела по окружности. Движение точки по окружности. Период и частота
1 . Колесо при вращении имеет угловую скорость 10π рад/с. После торможения, за минуту его скорость уменьшилась до 6π рад/с. Найдите угловое ускорение колеса.
2 . Маховик начал вращаться равноускоренно и за 10 с достиг угловой скорости 10π рад/с. Определите угловое ускорение маховика.
3 . Укажите направление тангенциального ускорения в точках A , B , C , D при движении по окружности по часовой стрелке (рис. 1), если:
а) если скорость увеличивается;
б) уменьшается.
4 . Определите тангенциальное ускорение колеса радиуса 30 см, если он начинает тормозить с угловым ускорением 0,2 рад/с 2 .
5 . Определите угловое ускорение вала электродвигателя радиуса 0,5 см, если его тангенциальное ускорение равно 1 см/с 2 .
6 . Сравните формулы, описывающие равноускоренное движение по прямой и по окружности, и, используя метод аналогии, заполните таблицу.
| № | Величины и формулы | Равноускоренное движение по прямой (линейные величины) | Равноускоренное движение по окружности (угловые величины) |
|---|---|---|---|
| 1 | Скорость начальная | υ 0 | |
| 2 | Скорость конечная | υ | |
| 3 | Перемещение | Δr | |
| 4 | Ускорение | a | |
| 5 | Формула для расчета ускорения | \(~a_x = \frac{\upsilon_x - \upsilon_{0x}}{t}\) | |
| 6 | Формула для расчета скорости. | \(~\upsilon_x = \upsilon_{0x} +a_x t\) | |
| 7 | Формулы для расчета перемещения | \(~\Delta r_x = \upsilon_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}\) ; \(~\Delta r_x = \upsilon_x t - \frac{a_x t^2}{2}\) ; \(~\Delta r_x = \frac{\upsilon_x + \upsilon_{0x}}{2} \cdot t\) ; \(~\Delta r_x = \frac{\upsilon^2_x - \upsilon^2_{0x}}{2 a_x}\) ; |
7 . Маховик начал вращаться равноускоренно и через 10 с стал вращаться с периодом 0,2 с. Определите:
б) угловое перемещение, которое он сделает за это время.
8 . Маховик, вращающийся с частотой 2 Гц, останавливается в течении 1,5 мин. Считая движение маховика равнозамедленным, определите:
а) угловое ускорение маховика;
б) угловое перемещение маховика до полной остановки.
9 . Диск вращается с угловым ускорением 2 рад/с 2 . Определите угловое перемещение диска при изменении частоты вращения от 4 Гц до 1,5 Гц?
10 . Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою частоту за 1 мин от 5 Гц до 3 Гц. Найдите угловое перемещение, которые совершило колесо за время торможения.
Уровень C
1 . Маховик начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя и за первые 2 мин делает 3600 оборотов. Найдите угловое ускорение маховика.
2 . Ротор электродвигателя начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно и за первые 5 с делает 25 оборотов. Вычислите угловую скорость ротора в конце пятой секунды.
3 . Пропеллер самолета вращается с частотой равной 20 Гц. В некоторый момент времени выключают мотор. Сделав 80 оборотов, пропеллер останавливается. Сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки, если вращение пропеллера считать равнозамедленным?
4 . Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найдите угловое ускорение колеса.
5 . Материальная точка движется по окружности. Когда центростремительное ускорение точки становится равным 3,2 м/с 2 , угол между вектором полного и центростремительного ускорений равен 60°. Найдите тангенциальное ускорение точки для этого момента времени.
6 . Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 м/с 2 . Определите полное ускорение точки на участке кривой с радиусом кривизны 3 м в момент времени, когда линейная скорость равна 2 м/с.
7 . Небольшое тело начинает движение по окружности радиусом 30 м с постоянным по модулю тангенциальным ускорением 5 м/с 2 . Найдите полное ускорение тела через 3 с после начала движения.
8 . Диск радиусом 10 см, находящийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением 0,5 рад/с 2 . Найдите полное ускорение точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.
9 . Угол поворота колеса радиусом 0,1 м изменяется по закону φ =π · t . Найдите угловую и линейную скорости, центростремительное и тангенциальное ускорения точек обода колеса.
10 . Колесо вращается по закону φ = 5t – t 2 . Найдите в конце первой секунды вращения угловую скорость колеса, а также линейную скорость и полное ускорение точек, лежащих на ободе колеса. Радиус колеса 20 см.
Движение по окружности - простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.
Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.
∆ l = R ∆ φ
Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .
Проиллюстрируем сказанное:
Угловая скорость
При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.
Определение. Угловая скорость
Угловая скорость в данной точке траектории - предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
Единица измерения угловой скорости - радиан в секунду (р а д с).
Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:
При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.
При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.
a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:
a n = v 2 R = ω 2 R
Докажем эти соотношения.
Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .
В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.
По определению ускорения:
a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Взглянем на рисунок:
Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .
Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:
R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R
При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → - v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:
a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .
При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.
Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:
a n → = - ω 2 R → .
Здесь R → - радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.
В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов - нормальное, и тангенциальное.
Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.
a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0
Здесь ∆ v τ = v 2 - v 1 - изменение модуля скорости за промежуток ∆ t
Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.
Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .
Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
a t = dv/dt = R.dw/dt = Re; (3.88).
a n = v 2 /R = w 2 R; (3.89).
a 2 = a t 2 + a n 2 = (dv/dt) 2 + (v 2 /R) 2 = R(e 2 + w 2). (3.90).
Пpи вpащении твеpдого тела вокpуг неподвижной оси все точки тела движутся по окpужностям с центpами, pасположенными на оси вpащения. Линейные величины для точек вpащающегося твеpдого тела связаны с угловыми, т.к. во все фоpмулы этих соотношений будет входить pадиус вpащения точки.
Связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами: s = Rj. (3.91).
v = Rw, (3.92).
a t = Re, (3.93).
a n = Rw 2 . (3.94).
При равноускоренном движении по окружности все виды ускорений отличны от нуля, только a t = const. (3.95). w = w 0 + et; (3.96).
j = j 0 + w 0 t + (et 2)/2. (3.97).
Для частного случая криволинейного движения - движения по окружности радиуса R , угловые характеристики движения связаны с линейными характеристиками весьма просто: Dj = Ds/R; (3.98).
w = dj/dt = v/R; (3.99).
e = dw/dt = d 2 j/dt 2 = a/R . (3.100).
Между движением твеpдого тела вокpуг неподвижной оси и движением отдельной матеpиальной точки (поступательным движением) существует аналогия. Кооpдинате соответствует угол, линейной скоpости - угловая скоpость, линейному (касательному) ускоpению - угловое ускоpение. Вектор dφ называется аксиальным вектором, тогда как вектор перемещения ∆r является полярным вектором (к ним также относятся векторы скорости и ускорения). Полярный вектор имеет точку приложения (полюс), а аксиальный вектор имеет только длину и направление (по оси), но не имеет точки приложения.
z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifЛекция № 4.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
Раздел механики, изучающий законы взаимодействия тел, называется динамикой. Причиной движения тел и изменения его характера с течением времени является взаимодействие тел. Взаимодействия происходят в пространстве и поэтому используют понятие силового поля
Сила, как количественная характеристика является мерой интенсивности взаимодействия тел. В механике сила является вектором: она задается величиной (модулем), направлением действия (вектором) и точкой приложения.
В физике различают четыре типа взаимодействий (сил):
1) гравитационные;
2) электромагнитные;
3) сильные (между элементарными частицами);
Слабые (при превращениях элементарных частиц).
Все механические силы делятся на консервативные и неконсервативные. Консервативными называются силы, работа которых не зависит от пути, а определяется только координатами точек начального и конечного положений приложения сил.
В механике действует принцип независимости сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил,
то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение, по второму закону Ньютона, так как будто других сил не было. Сила характеризуется числовым значением, направлением и точкой приложения и является мерой механического воздействия на тело.
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.
Первый закон Ньютона.
Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если равнодействующая всех сил действующих на это тело равна нулю. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью.
Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая, ее инерциальные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства.
Инертностью называется свойство тел оказывать сопротивление при попытках привести его в движение или изменить величину или направление его скорости. Равнодействующей всех сил, действующих на тело, называется векторная сумма всех сил, действующих на тело,
F рез. = SF i .= 0. (4.1).
z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif В системе СИ масса тела измеряется в килограммах (кг) .
Второй закон Ньютона.
Во втором законе Ньютона устанавливается связь между воздействием на тело - силой и реакцией на воздействие, которая проявляется в изменении скорости, т.е. в ускорении.
Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на тело результирующей силе и обратно пропорционально массе тела.
F рез. = am = m(dv/dt) = d(mv)/dt = dp/dt. (4.2).
В СИ за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с 2 . и называется ньютоном (Н) .
Третий закон Ньютона.
Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, но никогда не уравновешивают друг друга, поскольку приложены к разным телам, хотя и имеют одну природу.
F 12 = - F 21 . (4.3).
Сила F 12 , с которой первое тело действует на второе, равна по модулю силе F 21 , с которой второе тело действует на первое, но противоположна ей по направлению. z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Совокупность материальных точек, рассматриваемых как целое, называется механической системой.
ТОЧКИ ПРИЛОЖЕНИЯ СИЛ.
Действующая сила всегда вызывает равную по модулю и противоположную по направлению силу противодействия, то, следовательно, их равнодействующая должна быть равна нулю и тела вообще не могут приобрести ускорения. Во втором законе Ньютона говорится об ускорении под действием приложенных к телу сил. Нулевое ускорение означает равенство нулю суммы сил, приложенных к одному телу. Третий же закон Ньютона говорит о равенстве сил, приложенных к различным телам. На каждое из двух, взаимодействующих, тел действует только одна сила. Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Для системы точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия. Совокупность материальных точек, рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия внутри механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на систему, действуют внешние тела - внешними.
СИЛЫ ТРЕНИЯ.
Трение z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif возникает при соприкосновении двух тел. Силы трения, как и силы упругости, имеют электромагнитную природу. Они возникают вследствие взаимодействия между атомами и молекулами. Силами сухого трения называют силы, возникающие при соприкосновении двух твердых тел. Они всегда направлены по касательной к соприкасающимся поверхностям. Если тела неподвижны друг относительно друга, то имеем трение покоя, а если же они движутся относительно друга, то в зависимости от характера их движения то наблюдаем трение скольжения, качения или верчения. Сила трения покоя всегда равна по величине внешней силе и направлена в противоположную сторону. Сила трения покоя не может превышать некоторого максимального значения (F Тр.) max .
Если внешняя сила больше (F Тр.) max . , возникает относительное проскальзывание. Силу трения в этом случае называют силой трения скольжения. Сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления тела на опору, и силе реакции опоры N:
F Тр. =(F Тр.) max . =μN. (4.4)
…………………………………………………………………………………….
Рис. 22.
Коэффициент пропорциональности μ называют коэффициентом трения скольжения. Коэффициент трения μ – величина безразмерная. Он зависит от материалов соприкасающихся тел и от качества поверхностей. Значение m варьируется: от 1 до 0,001. Поверхностные атомы имеют меньшее число соседей, с которыми можно взаимодействовать. При скольжении эти контакты все время обновляются, происходит непрерывный обмен связей между парами атомов двух тел. Трение качения возникает между шарообразным или цилиндрическим телом и твердой поверхностью, по которой оно катится (трение качения всегда заметно меньше трения скольжения). Трение качения - тоже результат обмена атомно-молекулярными связями. При скольжении тел связи на контакте обмениваются одновременно, т.е. все разом.
А при качении это происходит последовательно и малыми порциями.
Сила трения качения подчиняется тому же экспериментальному закону, что и трение скольжения:
F тр.кач = m кач (N/R) (4.5).
Она пропорциональна силе нормальной реакции опоры N (т.е. прижимающей силе), обратно пропорциональна радиусу колеса и приближенно не зависит от скорости движения. При качении скорость обмена поверхностными связями очень мала .
Трение бывает внешнее и внутреннее. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении.
При движении твердого тела в жидкости или газе на него действует сила, препятствующая движению. При малых скоростях сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости тела:
F тр. = - k 1 v , (4.6)
при больших - пропорциональна квадрату скорости:
F тр. = - k 2 v. (4.7).
Коэффициенты сопротивления k 1 и k 2 , а также область скоростей, в которой осуществляется переход от линейного закона к квадратичному, в сильной степени зависят от формы и размеров тела, направления его движения, состояния поверхности тела и от свойств окружающей среды.